Aufgabe:
Es bezeichne (εt)t=0,1,2,.... ein weißes Rauschen mit Varianz σ2 > 0. Der stochastische Prozess (Yt)t=2,3,.... werde aus εT wie folgt gebildet:
Y0 = \( \frac{ε0}{\sqrt{0.91}} \)
Yt = 0.3Yt-1+εt t=1,2,3,....
a) Berechnen Sie die Mittelwertfunktion m(t).
b) Berechnen Sie die Varianzfunktion σ2(t) von (Yt) für t=0,1,2 und schließen Sie auf die Varianzfunktion σ2(t) für beliebiges t.
Problem/Ansatz:
Na ja ich verstehe das schlecht, habe auch die Lösung da trotzdem treten Verständnisprobleme auf.
zu a)
m(t) = EYt = 0.3EYt-1 +E(εt)
So dass ich kann noch nachvollziehen. E(εt) fällt weg. Nun wird geschrieben.
EYt-1 = m(t-1)
Was bedeutet m(t-1)? Der Erwartungswert ist der Erwartungswert vom Vorgänger, oder wie?
Weiterhin wird geschrieben:
m(0) = E\( \frac{∈0}{\sqrt{0.91}} \) = \( \frac{1}{\sqrt{0.91}}E(ε0) \) = 0
Der Zähler ist 0 wegen weißem Rauschen und dann ist halt alles null, sehe ich das richtig?
Zuletzt wird noch geschrieben, dass m(1)=0 ↔ m(2) = 0 ↔ m(3) =0 ist.
Der autoregressive Prozess nimmt immer Bezug auf den Vorgänger, da der Beginn 0 ist, ist der Erwartungswert insgesamt 0? Bei einem Startwert von Y0 = 2 wäre m(0)= 2 oder?
b)
σ2 (0) = \( \frac{σ^2}{0.91} \)
Die Varianz des weißen Rauschens ist σ2. Warum fällt hier die Wurzel im Nenner weg oder ist das nur ein Schreibfehler der Musterlösung?
σ2(1) = 0.09 Var(Y0) + Var(ε1)
= \( \frac{σ^2}{0.91} \)
Das kann ich gar nicht nachvollziehen, wo ist der Vorfaktor hin und wo der Summand?
Den Rest mit σ2(2) und σ2(t) hab ich erstmal weggelassen.
Ich hoffe ihr könnt mir die Schritte erläutern.
Vielen Dank im Voraus
