Betrachten Sie einen Random Walk
Xt=Xt−1+ZtX_t=X_{t-1} + Z_tXt=Xt−1+Zt
mit X0=0X_0=0X0=0 und ZtZ_t Zt ≅ N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2), wobei die einzelnen Zufallsvariabelen unabhängig und identisch verteilt sind. Zeige, dass
E(∑t=1TXt−12)=σ2T(T−1)2\mathbb{E}(\sum_{t=1}^T X_{t-1}^2)=\sigma^2 \frac{T(T-1)}{2}E(∑t=1TXt−12)=σ22T(T−1),
V(∑t=1TXt−12)=σ4T(T−1)(T2−T+1)3\mathbb{V}(\sum_{t=1}^T X_{t-1}^2)=\sigma^4 \frac{T(T-1)(T^2-T+1)}{3}V(∑t=1TXt−12)=σ43T(T−1)(T2−T+1)
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