Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt

Question

Aufgabe:

$$\text{ Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der Reihe }\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\text{ mit der Reihe }\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}*k!} .$$

Problem/Ansatz:

$$(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}})* (\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}*k!})=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k}}\frac{1}{2^{n-k}(n-k)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\frac{1}{2^{-k}}\frac{1}{2^n}\frac{1}{(n-k)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{(n-k)!}$$

Weiter komm ich momentan nicht ich habe schon überlegt ob man da nicht den Binomialkoeffizient verwenden kann aber da sind bisher alle versuche gescheitet. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Aloha :)

Das Cauchy-Produkt ist das Produkt zweier unendlicher Reihen. Das kann man manchmal berechnen, indem man über die Summe der Inidizes der beiden Summen addiert. Das wolltest du in deiner Rechnung machen und hast diese Index-Summe auch korrekt gebildet. Allerdings fällt mir auf Anhieb auch nicht ein, wie man da jetzt weiterrechnen könnte.

Das brauchst du hier aber auch gar nicht, weil jede Summe einzeln konvergiert. Die erste ist eine geometrische Reihe, die zweite ist die Reihendarstellung der \(e\)-Funktion. Daher kannst du den Wert des Cauchy-Produktes direkt bestimmen:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k\cdot k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\left(\frac12\right)^k}{k!}=\frac{1}{1-\frac12}\cdot e^{\frac12}=2\sqrt e$$

Comments

Ich würde eventuell noch hinzufügen, dass die beiden Produkte im Allgemeinen nur gleich sind, wenn mindestens eine der beiden Reihen absolut konvergiert.