Hallo :-)
Es gilt ja zunächst:
$$ \|A\|_2^2=\|Q\cdot R\|_2^2=\rho\left((Q\cdot R)^T\cdot Q\cdot R\right)=\rho\left(R^T\cdot \underbrace{Q^T\cdot Q}_{=I_n}\cdot R\right)=\rho\left(R^T\cdot R\right), $$
also \(\|A\|_2=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\). Analog erhält man \(\|A^{-1}\|_2=\sqrt{\rho\left((R^{-1})^T\cdot R^{-1}\right)}\)
Und damit hast du
$$\kappa_2(A)=\|A\|_2\cdot \|A^{-1}\|_2=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\cdot \sqrt{\rho\left((R^{-1})^T\cdot R^{-1}\right)}\\=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\cdot \sqrt{\rho\left((R^T\cdot R)^{-1}\right)}=\sqrt{\frac{|\lambda_{\text{max}}|}{|\lambda_{\text{min}}|}}, $$
wobei \(\lambda_{\text{max}},\lambda_{\text{min}}\) die Eigenwerte von \(R^T\cdot R\) sind.
