Wie bestimmt man die Konditionszahl der Matrix A?

Question

Aufgabe:

Es sei \( A=Q R \) eine QR-Zerlegung von \( A \) mit \( R=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 6\end{array}\right) \). Bestimmen Sie \( \kappa_{2}(A) \).

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man von diesen Angaben die Konditionszahl von Matrix A?

Hier ist ein Überblick der nötigen Definitionen, um die Kondition der Matrix A zu verstehen:

https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik_I/2_Normen_und_Fehlerabsch%C3%A4tzungen#2.3_Die_Konditionszahl_einer_Matrix

Answer 1

Hallo :-)

Es gilt ja zunächst:

$$ \|A\|_2^2=\|Q\cdot R\|_2^2=\rho\left((Q\cdot R)^T\cdot Q\cdot R\right)=\rho\left(R^T\cdot \underbrace{Q^T\cdot Q}_{=I_n}\cdot R\right)=\rho\left(R^T\cdot R\right), $$

also \(\|A\|_2=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\). Analog erhält man \(\|A^{-1}\|_2=\sqrt{\rho\left((R^{-1})^T\cdot R^{-1}\right)}\)

Und damit hast du

$$\kappa_2(A)=\|A\|_2\cdot \|A^{-1}\|_2=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\cdot \sqrt{\rho\left((R^{-1})^T\cdot R^{-1}\right)}\\=\sqrt{\rho\left(R^T\cdot R\right)}\cdot \sqrt{\rho\left((R^T\cdot R)^{-1}\right)}=\sqrt{\frac{|\lambda_{\text{max}}|}{|\lambda_{\text{min}}|}}, $$

wobei \(\lambda_{\text{max}},\lambda_{\text{min}}\) die Eigenwerte von \(R^T\cdot R\) sind.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Beschreibung, das hilft mir weiter :)