Unter welcher Voraussetzung an d ist E ein Untervektorraum? + Basis für E finden

Question

Aufgabe:

Sei \( d \geqq 0, n \in \mathbb{R}^{3} \) mit \( |n|=1 \) und \( E=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid\langle n \mid x\rangle=d\right\} \) eine Ebene (in Hessescher Normalform). Unter welcher Voraussetzung an \( d \) ist \( E \) ein Untervektorraum?
Geben Sie in diesem Fall für \( n=(4 / 5,0,3 / 5) \) eine Basis von \( E \) an.

Problem/Ansatz:

Meine Gedanken:

>ein UVR muss ja den 0 Vektor erhalten. Wenn ich also in x den 0-Vektor einsetzte kommt 0 raus.

Somit ist ein UVR gegeben wenn \( \frac{4}{5} \)x1+\( \frac{3}{5} \)x3=0

>Eine Hesssche-Normal-Form ist erst dann eine wenn d=1 ist.

Also muss folgendes gelten: E: 1= \( \frac{4}{5} \)x1+\( \frac{3}{5} \)x3

Kann jemand Klarheit bringen?

>Einen Basis von E angeben ; Wie macht man das hier?

Answer 1

Eine Hessesche-Normal-Form ist erst dann eine wenn d=1 ist.

Nein, wenn der Betrag des Normalenvektors = 1 ist, also für

16/25 + 9/25 = 1 und das passt.

Suche zwei linear unabhängige Vektoren, die

zu dem Normalenvektor orthogonal sind, oder

bestimme eine Basis von der Lösungsmenge der Gleichung.