Wie kann ich die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

b) ∑ ^∞_n=1 (1/(n²-2n-2))   

Problem/Ansatz:

Hallo,

Ich komme bei dieser Reihe nicht wirklich weiter. Wenn ich das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium anwende kommt bei mir 1 raus. Auch ist die Reihe größer als 1/n² und kleiner als 1/n. Ich habe jetzt keine Idee wie ich sonst noch vorgehen könnte. Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

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Zeige z.B., dass n² - 2n - 2 > (1/2)·n² für alle n > 4 gilt.

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-2n-2}=\sum_{n=1}^3\frac{1}{n^2-2n-1}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^2-2n-2}$$Die Reihe konvergiert, wenn die zweite unendliche Reihe konvergiert:$$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^2-2n-2}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+3)^2-2(k+3)-2}=$$ $$=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+4k+1}$$

Hier ist \(\sum\frac{1}{k^2}\) eine konvergente Majorante.

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vielen Dank !