Hallo, ich hätte drei Beispiele bzgl. Vektoren, bei denen ich nicht weiter komme, ziemlich am verzweifeln bin und unbedingt eine gute Erklärung brauche:)
1. Beispiel
Sei \( V \subseteq \mathbb{R}^{4} \) der von den Vektoren
vec{v1}= (1 \\-2 \\5 \\-3)
vec{v2}=(2 \\3 \\1 \\-4)
vec{v3}=(3 \\8 \\-3 \\-5)
aufgespannte Unterraum.
(a) Ermitteln Sie die Dimension und eine Basis \( B \) von \( V \).
(b) Bestimmen Sie, ob \( V \) den Vektor
vec{v}=(-3 \\-15 \\12 \\3)
enthält und finden Sie gegebenenfalls die Koordinaten von \( v \) bezüglich der berechneten Basis \( B \).
2. Beispiel
Weisen Sie nach, dass
vec{w1}=(\cos theta \\0 \\\sin theta \\0)
vec{w2}=(-\sin theta \\0 \\\cos theta \\)0
vec{w3}=(0 \\1 \\0 \\-1)
eine Orthonormalbasis des von ihnen aufgespannten Unterraumes \( W \) von \( \mathbb{R}^{4} \) bilden und bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von
vec{v}=(\cos theta \\1 \\-\sin theta \\-1)
auf \( W \)
3. Beispiel
Gegeben ist die folgende Basis von \( \mathbb{R}^{3 .} \)
vec{u1}=(1 \\1 \\1)
vec{u2}=(0 \\1 \\1)
vec{u3}=(0 \\0 \\1)
Verwenden Sie das Gram-Schmidtsche Verfahren, um aus den Vektoren \( u^{(1)}, u^{(2)} \), \( u^{(3)} \) eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{3} \) zu bilden. Führen Sie die Rechnung zweimal durch: Einmal in der Reihenfolge \( u^{(1)}, u^{(2)}, u^{(3)} \) und einmal in der Reihenfolge \( u^{(3)} \) \( u^{(2)}, u^{(1)} \).
Ich hoffe, dass mir eine Antwort von hier weiterhelfen kann! LG und DANKE im vorhinein!!
