Größtmögliche Fläche innerhalb einer Laufbahn 400m

Question

Ein Sportstadium mit einer Laufbahn der Gesamtlänge 400m soll so angelegt werden, dass die Fläche A des eingeschlossenen Rechtecks möglichst groß wird.

Answer 1

f ( x ) = x * 2 y -> max.

 

Nebenbedingung (Länge der Laufbahn):

2 x  + 2  π  y = 400

<=> y = ( 400 - 2 x ) /  2 π = ( 200 - x ) / π

 

Einsetzen in f ( x ) :

f ( x ) = x * 2 * ( ( 200 - x ) / π )

= ( 400 x - 2 x ² ) / π

 

f ' ( x ) = ( 400  - 4 x  ) / π = 0

<=> ( 400 - 4 x ) / π = 0

<=> 400 - 4 x = 0

<=> x = 100

=> y = ( 200 - 100 ) / π ≈31,83 m

 

f_max = x * 2 y = 100 * 63,66 = 6366 m ²