Gleichungssystem Analyse Hilfe

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem

\( \begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2} \end{array} \)
mit \( a_{i j}, b_{i} \in \mathbb{R} \) genau dann eindeutig lösbar ist, wenn \( a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0 \). Geben Sie in diesem Fall die Lösung des Gleichungssystem an.

Kann mir einer dabei helfen bitte ???

Answer 1

Was hindert Dich das LGS zu lösen?

I: x1=...

x1 ∈ II ==> x2 = (a11 b2 - a21 b1) / (a11 a22 - a12 a21)}

Dabei entsteht genau der Ausdruck (oder die Determinante der Komponentenmatrix |A| =|a_ij| ) als Nenner, ...

Comments

Aber bedenke, dass du 2 Richtungen zeigen sollst.

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Also irgendwie checke ich es immer noch nicht

Answer 2

zu der Richtung :

wenn \( a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0 \). dann eindeutig lösbar,

etwa so:

Multipliziere die erste Gleichung mit \(  a_{21} \) und die zweite mit \( -a_{11} \)

das gibt \( \begin{array}{l} a_{11} a_{21} x_{1}+a_{12} a_{21} x_{2}=b_{1} a_{21} \\ -a_{21} a_{11} x_{1}-a_{22} a_{11} x_{2}=-b_{2} a_{11} \end{array} \)

und addiere dann beide,, also hast du

\(    a_{12} a_{21} x_{2}-a_{22} a_{11} x_{2}=b_{1} a_{21} -b_{2} a_{11} \)

<=>

\(    (a_{12} a_{21}-a_{22} a_{11} )x_{2}=b_{1} a_{21} -b_{2} a_{11} \)

Wenn der Term in der Klammer nicht 0 ist, kannst du dadurch

dividieren und hast jedenfalls genau eine Lösung für x2.

Damit kommst du sicher schon weiter und kannst auch den

Fall, dass einer der beiden a21 oder a11 gleich 0 ist noch nachtragen.