zu der Richtung :
wenn \( a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0 \). dann eindeutig lösbar,
etwa so:
Multipliziere die erste Gleichung mit \( a_{21} \) und die zweite mit \( -a_{11} \)
das gibt \( \begin{array}{l} a_{11} a_{21} x_{1}+a_{12} a_{21} x_{2}=b_{1} a_{21} \\ -a_{21} a_{11} x_{1}-a_{22} a_{11} x_{2}=-b_{2} a_{11} \end{array} \)
und addiere dann beide,, also hast du
\( a_{12} a_{21} x_{2}-a_{22} a_{11} x_{2}=b_{1} a_{21} -b_{2} a_{11} \)
<=>
\( (a_{12} a_{21}-a_{22} a_{11} )x_{2}=b_{1} a_{21} -b_{2} a_{11} \)
Wenn der Term in der Klammer nicht 0 ist, kannst du dadurch
dividieren und hast jedenfalls genau eine Lösung für x2.
Damit kommst du sicher schon weiter und kannst auch den
Fall, dass einer der beiden a21 oder a11 gleich 0 ist noch nachtragen.