Inverse und neutrale Element finden

Question

Ich habe ein Zahlenpaar mit folgenden Operationen:

(x,y)+(x‘,y‘) = (x+x‘+1,y+y‘+1)

ich suche jetzt für dieses Zahlenpaar das Neutrale und das Inverseelement.

Wie gehe ich hier am besten vor?

Durch ausprobieren kam ich leider zu keiner Lösung.

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Du suchst diese Elemente für die angegebene Operation.

Wenn (a,b) das neutrale Element ist, muss ja für alle (x,y)

gelten        (x,y)+(a,b) = (x,y)

also (x+a+1, y+b+1) = (x,y)

also x+a+1=x und y+b+1=y

           a=-1 und b=-1

Also ist (-1,-1) das neutrale Element,

denn auch (-1,-1) +  (x,y)  = (x,y).

Invers zu (x,y) wäre dann ein Element ( u,v) mit

          (x,y)+(u,v) = (-1,-1)

==>  x+u+1 = -1  und  y+v+1=-1

==>    u = -2-x    und v = -2-y

Also ist (  -2-x  ;   -2-y ) das Inverse zu (x,y).

Answer 2

Aloha :)

Das neutrale Elemente \(n=\binom{n_x}{n_y}\) ändert ein Element \(\binom{x}{y}\) nicht, das heißt:$$\binom{x}{y}+\binom{n_x}{n_y}=\binom{x+n_x+1}{y+n_y+1}\stackrel!=\binom{x}{y}\quad\implies\quad n=\binom{n_x}{n_y}=\binom{-1}{-1}$$Das zu \(\binom{x}{y}\) inverse Elment \(\binom{x'}{y'}\) muss bei der Verknüpfung das neutrale Element liefern:$$\binom{-1}{-1}\stackrel!=\binom{x}{y}+\binom{x'}{y'}=\binom{x+x'+1}{y+y'+1}\quad\implies\quad \binom{x'}{y'}=\binom{-x-2}{-y-2}$$