Welcher Faktor macht eine Seitenlänge zur nächstgrößeren?

Question

Jede Seitenlänge eines der fünf Dreiecke ist um den gleichen Faktor größer als das nächstkleinere. Welcher Faktor ist das? Je zwei Geraden, auf denen die Seiten der Dreiecke liegen, sind entweder parallel oder schließen einen Winkel der Größe 60° ein.

Comments

Fallen Dir alle Deine schönen Aufgaben eigentlich im Traum ein, oder tust Du etwas dafür, oder hast Du sie irgendwo gefunden?

---

Zu den meisten meiner Aufgaben habe ich vorher eine Anregung gefunden. Wörtlich übernommen sind sie allerdings nie. Es freut mich, dass du meine Aufgaben schön findest.

---

Vielleicht gibt ja mal jemand eine Broschüre "Best of Mathelounge" heraus. Deine Aufgaben gehören dann sicher da rein.

---

Danke für diese Einschätzung. Apropos 'Broschüre': Aufgabenblätter mit Lösungen bei Matheretter (HTML): https://www.matheretter.de/ab/geodenk/.

---

das ist wahrlich eine schöne Aufgabe. Und das 'schönste' Verhältnis ist ja bekanntermaßen \(\phi\). Das trifft es nicht ganz, man muss der Sache noch an die Wurzel gehen. Ich arbeite aber noch an dem Beweis ;-)

Answer 1

Halllo Roland,

eigentlich ganz einfach, wenn man es sieht ;-)

Benennt man die Seiten der fünf Dreiecke mit aufsteigender Größe mit \(s_0\) bis \(s_4\), so sieht man durch Vergleich der roten Streckenstücke, dass $$s_4=s_2+s_0$$Da die \(s_i\) eine geometrische Folge mit der Basis \(q\) bilden sollen, ist$$q^4 = q^2 + 1 \implies q^2 = \phi \quad \text{wg.}\space q,q^2 \gt 1$$Also ist das gesuchte Verhältnis \(q=\sqrt{\phi}\).

Gruß Werner

Comments

Bem.: spiegelt man das zweitkleinste Dreieck an der Horizontalen, so liegen Eckpunkte von vier Dreiecken auf einer Geraden (rot):