Finden Sie zu vorgegebenen j ∈ ℕ und ε>0 ein σ(ε,j)>0

Question

ich hänge seit längerer Zeit an folgender Aufgabe mit a) und b) fest.

Für jedes \( j \in \mathbb{N} \) sei \( f_{j}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f_{j}(x):=\frac{j^{2} x}{10+\left|j^{2} x\right|} \).
(a) Finden Sie zu vorgegebenen \( j \in \mathbb{N} \) und \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta(\varepsilon, j)>0 \), für welches Folgendes gilt: \( |x-0|<\delta(\varepsilon, j) \Longrightarrow\left|f_{j}(x)-f_{j}(0)\right|<\varepsilon \)
(b) Beweisen Sie, dass es unmöglich ist, ein \( \delta(\varepsilon, j) \) wie oben unabhängig von \( j \) zu wählen.

Könnte mir dabei freundlicherweise jemand helfen?

Answer 1

a) Setze den Ausdruck für die Funktion in die Bedingung ein und versuche den Ausdruck \(|x-0|\) zu erhalten  um ein passendes \(\delta\) zu finden.