Folgen und Grenzwerte lim (1/n + 1/n^2) usw.

Question

Die unten stehende Folge will mir nicht in den Kopf warum da 0 rauskommt.... lasse ich es so lange über den lim gegen unendlich laufen bis ich dort am ende 0 herausbekomme?

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=0+0=0 \)

wenn ich dann z.B. die unten genannte Folge habe.

\( b_{n}=\frac{2-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^{2}}}{7+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\frac{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(2-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^{2}}\right)}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(7+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{2}{7} \)

Läuft dann alles was durch n geteilt wird gegen 0?

Comments

was ich noch nicht dabei verstehe ist diese lösung.

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\sqrt{\frac{n-1}{n}}\right)=1+1=2 \)

wurzel aus 1-1/1 ist doch 0 + 1 wäre doch 1

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Es steht aber  (1-0) unter der Wurzel für n gegen unendlich.

√((n-1)/n) = √(n/n-1/n) = √(1-1/n).

Siehst du es jetzt?

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aber √(1-1/n) ist doch wenn ich für n=1 einsetze 0

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Du darfst nicht n=1 setzen. n geht gegen unendlich, d.h. die Zahl unter dem Bruchstrich der 1 ist sehr sehr groß. Damit geht wie bei deiner Aufgabe oben der gesamte Term 1/n gegen 0. Also kannst du in der Grenzwertbetrachtung für 1/n auch 0 schreiben. Damit bleibt nur die 1 unter der Wurzel.

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alles klar, jetzt hab ich es danke noch mal, das Hilft auch den Rest zu verstehen.

Answer 1

Ja, denn wenn du eine feste Zahl durch eine immer größer werdende Zahl (irgendwann unendlich) teilst, dann wird der Term immer kleiner und irgendwann verschwindet er nahezu, d.h. er läuft gegen 0.