Grenzwert von folgenden Folgen berechnen: Bsp lim n->∞ 2^n/n!

Question

ich soll Grenzwerte von Folgen berechnen, mit manchen komme ich ganz gut zurecht, andere allerdings ( die 3 unten ) sind etwas schwieriger.

Die Grenzwerte der 3 folgenden Folgen sollen bestimmt werden:

lim n -> ∞ ³√(n)/(n+1)    Wenn man das nicht erkennen kann: Das soll die dritte Wurzel sein.

lim n->∞ 2^n/n!

lim n -> ∞ ((-1)ⁿ+2n)/(n+1)

Ich habe gerade kein Bild parat aber für die dritte Folge habe ich versucht das n im nenner zu benutzen um die n´s oben gegen 0 zu führen, da würde dann 2/1 übrig bleiben. Das Ergebnis wäre dann 2, kann das stimmen? Bei Folge 1 und 2 komme ich leider gar nicht weiter.

Bedanke mich jetzt schonmal für jede Antwort :)

LG

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EDIT:

lim n->∞  ³√n/n+1     Wenn man das nicht erkennen kann: Das soll die dritte Wurzel sein. Das kann man erkennen. Interessanter wäre zu wissen, ob du Klammern vergessen hast und +1 in den Nenner gehört. 

lim n->∞ 2ⁿ/n!

lim n->∞ (-1)ⁿ+2n/n+1 

Auch hier ist unklar, was genau Zähler und Nenner sein soll. Warum lässt du n gegen 0+ gehen, wenn davor steht, dass n gegen unendlich geht? 

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lim n -> ∞ ³√(n)/(n+1)

lim n -> ∞ ((-1)^{n}+2n)/(n+1)

Kann man es jetzt besser erkennen? 

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EDIT: Habe die Klammerung oben so eingefügt.

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$$(2)\quad\frac{2^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac2k=\frac21\cdot\frac2n\cdot\prod_{k=2}^{n-1}\frac2k\le\frac4n.$$

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ich komme bei diesen drei Folgen nicht weiter, ich soll den jeweiligen Grenzwert gegen unendlich (n->∞) bestimmen.

lim n -> ∞ ³√(n)/(n+1)   

lim n->∞ 2ⁿ/n!

lim n -> ∞ ((-1)ⁿ+2n)/(n+1)

:)

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Vgl. https://www.mathelounge.de/409421/grenzwert-von-folgenden-folgen-berechnen-bsp-lim-n-%E2%88%9E-2-n-n.

Answer 1

n^{1/3} / (n + 1)

Erweiter einfach mit n^{-1/3}

n^{1/3} / (n + 1) = 1 / (n^{2/3} + n^{-1/3})

Da solltest du den Grenzwert aber ablesen können oder?

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2^n / n!

Schreibe das mal etwas anders

2/1 * 2/2 * 2/3 * 2/4 * 2/5 * ...

Was meinst du gegen welchen wert das geht? Irgendeine Idee?

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Ich glaube beim ersten 1? Und beim zweiten 0. Beim dritten: (((-1)ⁿ+2n)/(n+1)) , kann man da das gPin (größte Potenz im Nenner) verfahren benutzen? also das n im Nenner nehmen und das gegen die anderen n´s gegen 0 laufen lassen, sodass 2 übrig bleibt?, was ist denn dann mit dem (-1)^n das schwankt ja dann immer zwischen + und - was ist denn das Ergebnis? -2 oder 2? Ich würde sagen 2 oder nicht?

Also wären die Grenzwerte insgesamt: 1,0,2?

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Das erste sollte doch auch gegen 0 gehen oder nicht? Zähler ist 1 und Nenner geht gegen unendlich ?

Ansonsten stimmen die anderen Grenzwerte mit 0 und 2.

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Beim dritten kürzt du durch n

((-1)^n + 2·n)/(n + 1)

= ((-1)^n/n + 2)/(1 + 1/n)

Wenn n gegen unendlich geht geht der Ausdruck gegen 2.

(-1)^n/n geht hier gegen 0.

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Das erste geht laut Maple gegen 1, das zweite gegen 0 und das dritte gegen 2, warum genau das erste jetzt gegen 1 geht kann ich mir nicht erklären. Deine Erklärung hört sich eigentlich ganz logisch an. Hast du noch eine Idee warum das gegen 1 geht?

Noch eine Frage zu 2ⁿ / n!  :

Es kann passieren, dass ich diese Aufgaben in der mündlichen Prüfung erklären muss, wie genau bist du auf 2/1 * 2/2 * 2/3 * 2/4 * 2/5 ...usw. gekommen? Also wie genau hast du das umgestellt?

Answer 2

lim n->∞ 2ⁿ/n! Verschaffe dir zuerst eine Vorstellung davon, was der Grenzwert sein könnte. Im vorliegenden Falle berechne die ersten 10 Glieder auf 3 Stellen hinter dem Komma genau: 2;  2:  1,333;  0,666;  0,266;  0,088;  0,025;  0,006;   0,001;  0,000. Jetzt vermute den Grenzwert 0. Das muss man aber noch beweisen. Dazu zeigt man im vorliegenden Falle vielleicht, dass die Folgenglieder eine Nullfolge bilden.

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Ok das verstehe ich aber wie genau soll ich das jetzt beweisen/berechnen? :D Willst du am Ende ein Bild darstellen? Kann da nur irgendeinen code lesen.