Bestimme das Verhältnis c/a.

Question

In einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sei a<b<c und a/b=b/c=cos(α), wobei α gegenüber der Seite mit der Länge a liegt. Bestimme das Verhältnis c/a als reelle Zahl.

Answer 1

a/b=b/c=cos(α)

ges: c/a

Lös.

a^2=b^2+c^2-2bc cos(α)

a^2=b^2+c^2-2bc* b/c

a^2=b^2+c^2-2b^2

a^2=c^2-b^2

a^2+b^2=c^2

b^2=ac laut Voraussetzung

a^2+ac=c^2

Sei a=1 → c/a=c

c^2-c-1=0

c=0,5±√(0,25+1)

Wegen c>0:

\(\dfrac ca=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\Phi\)

Answer 2

\( \frac{a}{b} \) =\( \frac{b}{c} \) =cos(α)

\( \frac{a}{b} \)=cos(α) → b=\( \frac{a}{cos(α) } \)

\( \frac{b}{c} \) =cos(α)→ b=cos(α)*c

\( \frac{a}{cos(α) } \)=cos(α)*c

a=cos^2(α)*c

\( \frac{c}{a} \)=\( \frac{1}{cos^2(α)} \)

Comments

Die Aufforderung "bestimme" soll heißen, dass eine reelle Zahl gesucht ist, welche das Verhältnis c/a nennt.

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a=4,47    b=6,4

\( \frac{a}{b} \)=\( \frac{4,47}{6,4} \)

\( \frac{b}{c} \)=\( \frac{4,47}{6,4} \)

\( \frac{6,4}{c} \)=\( \frac{4,47}{6,4} \)

c≈9,16

cos(α)=\( \frac{a}{b} \)

cos(α)=\( \frac{4,47}{6,4} \)=0,698437

cos(α)=\( \frac{b}{c} \)

cos(α)=\( \frac{4,47}{6,4} \)=0,698437

\( \frac{c}{a} \)=\( \frac{9,16}{4,47} \)≈2,05

\( \frac{c}{a} \)=\( \frac{1}{cos^2(α)} \)

2,05=\( \frac{1}{0,698437^2} \)