Höhe und Radius eines Zylinders mit minimaler Oberfläche (Differenzialrechnung)

Question

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Wie muss man die Höhe \( h \) und den Radius \( r \) einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von 2 Litern hat und die Oberfläche minimal ist? Geben Sie bitte alle Rechenschritte an und runden Sie das Ergebnis auf eine Genauigkeit von einem Millimeter.

Kann mir wer eine mögliche lösung zeigen.. Ich weiss das ich für das Volumen V(H,r) = pi*r² *h, O(h,r)= 2pi*r*h (Mantelfläche) + 2pi*r²(Deckel und Boden)

Wäre sehr dankabr wenn man die Rechenwege mir erklärungen abgibt sodass ich es verstehen kann

Answer 1

Hallo,

\(V=\pi\cdot r^2\cdot h\\ 2 = \pi\cdot r^2\cdot h\\ \frac{2}{\pi\cdot r^2}=h\)

Dieses Ergebnis setzt du für h in die Oberflächenforrmel ein:

\(O=2\cdot \pi\cdot r^2+2\cdot \pi\cdot r\cdot h\\ O=2\cdot \pi\cdot r^2+2\cdot \pi\cdot r\cdot \frac{2}{\pi\cdot r^2}\\ O=2\cdot \pi\cdot r^2+\frac{4}{r}\)

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0, berechne das Minimum und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Ich komme auf einen Radius von 68 mm.

Gruß, Silvia

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Rechne es grade auch aus mit der Hilfe von "lul" mal sehen ob ich das selbe raus bekomme! Vielen Dank!!

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Beachte, dass alle Längenangaben in dm sind. Die Lösung 0,68 bedeutet also

r=0,68dm=68mm.

:-)

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Perfekt vielen dank ich hab es raus (h müsste dann 1.37cm sein) oder lieg ich da komplett falsch

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Es sind 1,37 dm = 137 mm

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Ups genau hat ja "MontyPython" extra noch erwähnt.... komplett verpeilt, danke nochmal für die Hilfe

Answer 2

Hallo

du weisst V=2dm³  daraus kannst du h(r) ausrechnen, (oder r(h)) und in O einsetzen, dann hängt O nur noch von r (oder h) ab, und du kannst das Min der funktion durch O'=0 bestimmen.

Gruß lul

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Perfekt ich zeige Ihnen gleich meine Rechnung und Sie können mir das dann absegnen / verbesserungsvorschläge geben :)