Sei (zn)n∈N eine komplexe Folge, sodass |zn+2 − zn+1| ≤ κ |zn+1 − zn| für alle n ∈ N und eine feste Konstante κ ∈ (0, 1) gilt.
Beweisen Sie, dass (zn)n∈N eine Cauchy-Folge ist.
Hinweis:
1. Leiten Sie zunächst eine Abschätzung für |zn+k − zn| her, in der nur k, n sowie z1, z2 und κ auftauchen.
2. Es gibt eine Summenformel für sn = κ0 + κ1 + . . . + κn
Diese findet man, wenn man auch κ sn als Summe schreibt.
