Ableitung berechnen mit h-Methode

Question

Aufgabe:

Gegeben ist f (x) = x^4. Berechnen Sie die Ableitung von f bei x₀ =2 mit der h Methode.

Hilfe: verwenden Sie sie Binomische Formel (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2+4ab^3+b^4

Problem/Ansatz:

Wie funktioniert das?

Answer 1

\( \frac{ f(2+h)-f(2)} {h}  = \frac{ (2+h)^4-2^4} {h}  = \frac{ 16+4*8*h+6*4*h^2 etc - 16 } {h}  =  \frac{ 32h + 24h^2 + ... } {h} = 32 + 24h + ... \)

Die Terme bei ... enthalten alle Potenzen von h, gehen also für h gegen 0 auch

gegen 0, also bleibt als Ableitung 32.

Comments

Aber wie geht die ganze Rechnung?

Answer 2

Hallo,

verwende die Formel \(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h} \)

\( =\lim\limits_{h\to 0}\frac{x^{4}+4 x^{3} h+6 x^{2} h^{2}+4 x h^{3}+h^{4}-x^{4}}{h} \)

\( =\lim\limits_{h\to 0}\frac{4 x^{3} h+6 x^{2} h^{2}+4 x h^{3}+h^{4}}{h} \)

\( =\lim\limits_{h\to 0}\frac{h \cdot\left(4 x^{3}+6 x^{2} h+4 x h^{2}+h^{3}\right)}{h} \)

\( =\lim\limits_{h\to 0}4 x^{3}+6 x^{2} h+4 x h^{2}+h^{3} \)

\( =4 x^{3} \)

Gruß, Silvia