Wahrheitswert quantifizierter Prädikate

Question

Aufgabe:

x bzw. y seien jeweils aus {1,2,3}. Bestimmen Sie den Wahrheitswert folgender quantifizierter Prädikate:

∃x ∀y , x² < y + 1

Problem/Ansatz:

Grüß euch,

ich weiß leider bei der obigen Aussage nicht weiter. Da mir dieses Forum schon öfters geholfen hat, habe ich gedacht ich stelle hier mal meine Frage. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen, wäre wirklich super.

Grüße und herzlichen Dank schon jetzt!

Answer 1

Es ist \(1^2=1<y+1\;\forall y\in \{1,2,3\}\). Also erfüllt \(x=1\)

die Bedingung. Die quantifizierte Aussage ist wahr.

Comments

Danke, ich habe jetzt gleich die zweite Aufgabe versucht, würde das stimmen:

Aufgabe: ∀x∃y , x² + y² < 12

Lösung: x² + 1² < 12

Weil hier muss ja x für 1, 2 und 3 gelten oder? Das heißt ja dann, wenn ich 3 in x einsetze, dann wären das 9 (also für 3²) und dann kann ich ja nur 1² addieren, damit die Aussage kleiner als 12 ist.

Da müsste y ja dann auch 1 erfüllen, oder habe ich das falsch verstanden?

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Das hast du ganz richtig erkannt und begründet.

Aber was meinst du mit

"Da müsste y ja dann auch 1 erfüllen, oder habe ich das falsch verstanden?"

Meinst du einfach nur, dass man für jedes x y=1 nehmen kann und dadurch

die Existenz eines y bewiesen ist?

Wenn du das meinst, hast du Recht :-)

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Ja, das habe ich gemeint. Weil 2 kann es ja nicht sein, da 3²+2² ja 13 währen, und y muss ja für jedes x gelten, daher ist es ja dann 1. Stimmt das dann, wenn ich so vorgehe?

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Ja. Das ist OK. Du musst aber nicht begründen, dass y=1

der einzige Wert für y ist. Du musst nur die Existenz eines solchen

y begründen, und y=1 ist ein solches.

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Ok, die Angabe am Blatt mit bestimme den Wahrheitswert ist ja auch verwirrend, denn wenn zum Beispiel wie bei dieser Aufgabe ∀x∀y , x² + y² < 12. Dann ist die Aussage ja falsch, da ja beide Werte eingesetzt 3 zum Quadrat 18 ergeben würden und somit gilt ja nicht "für jedes x" und "für jedes y". Weil diese eine Frage habe ich noch, dann habe ich es glaub ich ganz verstanden. Wenn es heißt ∀x dann müssen für 1, 2, und 3 in meinen Fall eine Wahre Aussage rauskommen oder?

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Ja, so ist es :-)

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Super tausend Dank! Dachte schon ich werde das nie verstehen.