Grenzwert von sqrt ( x² + x +2 ) -x

Question

Hallo übe derzeit für die Ana1 Klausur und zwar das Thema Grenzwerte.Dafür habe ich  alte Klausur Aufgaben bzw. alte Übungsblätter (von anderen profs. ) bearbeitet und kontrolliere das Ergebnis mit Wolfram Alpha dann ab.
Nun bin ich bei einer Aufgabe die ich nit geschafft habe und auch einfach nicht weiter weiß:

lim ( x ↦ ∞)    sqrt ( x²+x+2) -x     =  lim ( x ↦ ∞)  ( sqrt ( x²+x+2) -x )  ( sqrt ( x²+x+2) +x)   /  ( sqrt ( x²+x+2) +x)
= lim ( x ↦ ∞)   ((sqrt (x²+x+2)) ²  -  (x)² ) /  ( sqrt ( x²+x+2) +x)  = lim ( x ↦ ∞)     (x+2) / ( sqrt ( x²+x+2) +x)
Nun habe ich die Regel von L’Hospital angewandt  aber statt es irgendwann ( nach umformen und nochmal L´Hospital) einfacher wird wird der Term immer unübersichtlicher hat hier irgendwer nen Tipp ?

Comments

habs nach dem 7ten versuch nun selbst gepackt ist gar nit so kompliziert :D  kenne mich hier im forum nit so gut aus also kann die frage geschlossen werden.

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Kannst ja die Lösung posten. Dann hat auch die Nachwelt was davon :D.

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  hier meine, etwas einfachere Überlegung.

  Sqrt ( x^2 ) = x
  sqrt ( x^2 ) - x = x - x = 0
  sqrt( x^2 + x + 2 ) = etwas größeres als sqrt ( x )
  da lim x -> ∞ dürfte der ganze Term gegen ∞ gehen.

  mfg Georg

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jo hast recht mache ich

Answer 1

lim ( x ↦ ∞)     (x+2) / ( sqrt ( x²+x+2) +x)    = lim ( x ↦ ∞)     (x+2) / ( sqrt x²( 1+1/x+2/x²) +x)   Also unter der Wurzel x² ausgeklammert.

= lim ( x ↦ ∞)     (x+2) /( sqrt ( x²) * sqrt (1+1/x+2/x²) +x)  nun die wurzel auseinander geschrieben.

=lim ( x ↦ ∞)     x(1+2/x) /  x(sqrt(1+1/x+2/x²)+1)     nun x sowohl beim zähler als auch beim nenner ausgeklammert und gekürzt da lim( x ↦ ∞) gilt laufen 2/x ; 1/x und 2/x² gegen 0.

= 1 /( sqrt(1)+1 )  = 1/2

Comments

Meinen Glückwunsch zu den Umformungen. Bei mir ergab
sich die Frage " wie kommt man auf so etwas ".

Ziel der Umforumungen sollte es in diesem Fall sein das

- x sich wegkürzt  und/oder
- x nur noch im Nenner von Brüchen vorkommt.

mfg Georg