Aufgabe:
Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen V soll aus Weißblech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimmen Sie die Höhe h und den Durchmesser d der Dose.
Problem/Ansatz:
Ich verstehe leider die Schritte nicht, bzw. Kapiere ich nicht, was gerechnet wird, da wo ich die Schritte rot markiert habe. (Siehe Anhang)
Lösung:
Der, „Blechverbrauch" soll optimiert werden. Das ist die Oberfläche der Dose, also Mantel + Deckel + Boden. Damit erhalten wir die Hauptbedingung:
\( A=\pi \cdot d \cdot h+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \)
Die Hauptbedingung enthält 2 Variablen \( (d \) und \( h) \). Deshalb benötigen wir noch genau eine Nebenbedingung. Diese erhalten wir mit Hilfe des bekannten Volumens \( V: \)
\( V=\frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \cdot h \)
Wir müssen die Nebenbedingung nach \( d \) oder \( h \) umstellen und in die Hauptbedingung einsetzen. Da sie sich einfacher nach \( h \) als nach \( d \) umstellen lässt, tun wir das.
\( \begin{aligned} V &=\frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \cdot h \quad \mid \cdot 4 \\ 4 V &=\pi \cdot d^{2} \cdot h \quad \mid:\left(\pi \cdot d^{2}\right) \\ \frac{4 V}{\pi \cdot d^{2}} &=h \end{aligned} \)
Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir \( A \) als eine Funktion von \( d \).
\( \begin{array}{l} A(d)=\pi \cdot d \cdot \frac{4 V}{\pi \cdot d^{2}}+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \\ A(d)=\frac{4 V}{d}+\frac{\pi}{2} \cdot d^{2} \\ A(d)=4 V \cdot d^{-1}+\frac{\pi}{2} \cdot d^{2} \\ A^{\prime}(d)=-4 V \cdot d^{-2}+2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot d \\ A^{\prime}(d)=-4 V \cdot d^{-2}+\pi \cdot d \\ A^{\prime}(d)=-\frac{4 V}{d^{2}}+\pi \cdot d \end{array} \)
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist, dass die erste Ableitung gleich 0 ist.
