Verständnisfrage bei Rechenschritten beim Extremwertberechnen mit Nebenbedingungen.

Question

Aufgabe:

Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen V soll aus Weißblech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimmen Sie die Höhe h und den Durchmesser d der Dose.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider die Schritte nicht, bzw. Kapiere ich nicht, was gerechnet wird, da wo ich die Schritte rot markiert habe. (Siehe Anhang)

Lösung:

Der, „Blechverbrauch" soll optimiert werden. Das ist die Oberfläche der Dose, also Mantel + Deckel + Boden. Damit erhalten wir die Hauptbedingung:
$A=\pi \cdot d \cdot h+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^{2}$
Die Hauptbedingung enthält 2 Variablen $(d$ und $h)$. Deshalb benötigen wir noch genau eine Nebenbedingung. Diese erhalten wir mit Hilfe des bekannten Volumens $V:$
$V=\frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \cdot h$
Wir müssen die Nebenbedingung nach $d$ oder $h$ umstellen und in die Hauptbedingung einsetzen. Da sie sich einfacher nach $h$ als nach $d$ umstellen lässt, tun wir das.
$\begin{aligned} V &=\frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \cdot h \quad \mid \cdot 4 \\ 4 V &=\pi \cdot d^{2} \cdot h \quad \mid:\left(\pi \cdot d^{2}\right) \\ \frac{4 V}{\pi \cdot d^{2}} &=h \end{aligned}$
Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir $A$ als eine Funktion von $d$.
\( \begin{array}{l} A(d)=\pi \cdot d \cdot \frac{4 V}{\pi \cdot d^{2}}+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \\ A(d)=\frac{4 V}{d}+\frac{\pi}{2} \cdot d^{2} \\ A(d)=4 V \cdot d^{-1}+\frac{\pi}{2} \cdot d^{2} \\ A^{\prime}(d)=-4 V \cdot d^{-2}+2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot d \\ A^{\prime}(d)=-4 V \cdot d^{-2}+\pi \cdot d \\ A^{\prime}(d)=-\frac{4 V}{d^{2}}+\pi \cdot d \end{array} \)
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist, dass die erste Ableitung gleich 0 ist.

Answer 1

Hallo,

$A(d)=\pi \cdot d \cdot \frac{4 V}{\pi \cdot d^{2}}+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^{2}\\ =\frac{\cancel{\pi} \cdot \cancel{d}\cdot 4V}{\cancel{\pi} \cdot d^{\cancel{2}}}+\frac{\cancel{2}\cdot \pi}{\cancel{4}}\cdot d^2\\ =\frac{4V}{d}+\frac{\pi}{2}\cdot d^2\\ =4V\cdot \frac{1}{d}+\frac{\pi}{2}\cdot d^2\\ =4V\cdot d^{-1}+\frac{\pi}{2}\cdot d^2\\$

Gruß, Silvia