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Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ≠ 0 ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit den Basen X, Y und V∗ sein Dualraum mit den dualen Basen X ∗ , Y ∗ . Sei A := Aid,X,Y .

Zeigen Sie: A ist invertierbar, d.h. es existiert ein (notwendigerweise eindeutig bestimmtes) B ∈ Kn×n mit AB = BA = E, wobei E ∈ Kn×n die Einheitsmatrix bezeichnet. Man schreibt A−1 := B. Zeigen Sie außerdem: Aid,X∗,Y ∗ = (A−1)t

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Was versteht Ihr denn unter \(A_{id,X,Y}\)?

Wir haben das als Basiswechsel klassifiziert, also wie sich Koordinatenvektoren bezüglich der Basis X in welche der Basis Y umrechnen lassen.

"Basiswechselmatrix" wäre der Name, aber wie ist sie definiert - wir wollen ja schließlich damit rechnen.

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