Ziffernblöcke der Länge 4

Question

Hallo zusammen

könnte mir jemand bei folgender Kombinatorik-Aufgabe helfen?

Ein Zufallsgenerator erzeugt mit Ziffern aus {0, 1, ... ,9} Ziffernblöcke der Länge 4. Geben Sie mit Begründung die Wahrscheinlichkeiten für folgende fünf Ereignisse an.

a) Alle Ziffern sind verschieden.

b) Genau ein Paar gleiche Ziffern

c) Genau zwei Paare gleicher Ziffern

d) Genau drei gleiche Ziffern

e) vier gleiche Ziffern

Viel hab ich davon leider noch nicht geschafft. Zur Orientierung habe ich mir folgende Abbildung genommen.

Quelle: https://studyflix.de/statistik/kombinatorik-1076

Zu a)

Erstmal muss man ja wissen, wie viele verschiedene Ziffernblöcke es insgesamt geben könnte ??

Also eine Stichprobe, mit Reihenfolge (damit kein Block doppelt vorkommt?) und mit Wiederholung, da die Zufallszahlen auch in mehreren Blöcken vorkommen können.

Also n^k = 10^4 unterschiedliche Kombinationsmöglichkeiten der Ziffern in den 4er Blöcken.

Dann habe ich gedacht, muss man herausfinden, wie viele Ziffernblöcke nur unterschiedliche Zahlen enthalten.

Also eine Stichprobe, mit Reihenfolge (damit wieder nix doppelt ist) und ophne Wiederholung (weil unterschiedliche zahlen). 10!/(10-4)! = 5040.

Und dann zum Schluss die Wahrscheinlichkeit dafür (nach Laplace) = Anzahl günstiger Fälle / Anzahl aller möglichen Fälle = 5040/10000 = 0,504

Ist mein Gedankengang da richtig? Für die anderen habe ich leider noch keine Lösung.

Answer 1

Ich bevorzuge die Pfadregeln. Aber wie immer gibt es mehrere Wege die zum Ziel führen.

Ein Zufallsgenerator erzeugt mit Ziffern aus {0, 1, ... ,9} Ziffernblöcke der Länge 4. Geben Sie mit  Begründung die Wahrscheinlichkeiten für folgende fünf Ereignisse an.

a) Alle Ziffern sind verschieden.

10/10 * 9/10 * 8/10 * 7/10 = ...

b) Genau ein Paar gleiche Ziffern

10/10 * 1/10 * 9/10 * 8/10 * 6 = ...

c) Genau zwei Paare gleicher Ziffern

10/10 * 1/10 * 9/10 * 1/10 * 3 = ...

d) Genau drei gleiche Ziffern

10/10 * 1/10 * 1/10 * 9/10 * 4 = ---

e) vier gleiche Ziffern

10/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 = ...

Comments

Erstmal danke für die Antwort! Jetzt habe ich immerhin schon einmal die Ergebnisse :)

Nur bin ich nun noch mehr verwirrt was deren Herleitung betrifft.. :-D

Ich habe die Pfadregel mal eben gegoogelt. Erscheint mir auf den ersten Blick einfacher, als sich alle Formeln zu merken, nur wie baue ich den "Pfad" auf ??

Für a) würde ich nun mutmaßen:

10/10

    |

9/10

    |

8/10

    |

7/10

10/10 = Wahrscheinlichkeit eine Ziffer zu erwischen, die noch nicht im 4er Block ist. 100%, logisch.

Danach nur noch 9/10, weil eine Ziffer ja schon "bestzt" ist. usw. usf.

??? Beim Rest steh ich wieder auf dem Schlauch.

Bei mir haperts halt noch ziemlich am Verständnis des Ganzen :(

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Schreibe doch mal ein paar Viererblöcke auf. Und überlege dir für jede Ziffer genau unter wie vielen Ziffern du wählen kannst.

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"überlege dir für jede Ziffer genau unter wie vielen Ziffern du wählen kannst."

Hmm.. Du meinst z.B. so:

(1, 2, 3, 4)

Für Pos.1 kann ich unter 10 Ziffern wählen

Für Pos.2 unter 9 Ziffern

Für Pos.3 unter 8 Ziffern

Für Pos.3 unter 7 Ziffern

(1, 1, 5, 3)

Für Pos.1 kann ich wieder unter 10 Ziffern wählen.

Für Pos.2 dann nur unter einer Ziffer... ? Weil muss ja die gleiche sein.

Für Pos.3 dann wieder unter 9 Ziffern

Für Pos.4 unter 8 weil es muss ja eine andere sein....

Ist das so richtig gedacht?

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Arrrgh! Ich glaube langsam platzt der Knoten.

Für mein letztes Beispiel: Dann noch *6 das ganze, weil es im 4er Block insgesamt 6 Positionen für die zwei gleichen Zahlen gibt, oder?

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Für mein letztes Beispiel: Dann noch *6 das ganze, weil es im 4er Block insgesamt 6 Positionen für die zwei gleichen Zahlen gibt, oder?

Ja genau.

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Okay kapiert. :) Vielen, vielen dank!!

Ein schönes Beispiel dafür, wie man sich das Leben unnötig kompliziert machen kann. Das ist ja viel einfacher so.