Zeigen Sie Aid,X∗,Y ∗ = (A−1)t

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ≠ 0 ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit den Basen X, Y und V∗ sein Dualraum mit den dualen Basen X ∗ , Y ∗ . Sei A := A_id,X,Y .

Zeigen Sie: A ist invertierbar, d.h. es existiert ein (notwendigerweise eindeutig bestimmtes) B ∈ K^n×n mit AB = BA = E, wobei E ∈ K^n×n die Einheitsmatrix bezeichnet. Man schreibt A⁻¹ := B. Zeigen Sie außerdem: A_{id,X∗,Y ∗} = (A⁻¹)^t

Comments

Was versteht Ihr denn unter \(A_{id,X,Y}\)?

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Wir haben das als Basiswechsel klassifiziert, also wie sich Koordinatenvektoren bezüglich der Basis X in welche der Basis Y umrechnen lassen.

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"Basiswechselmatrix" wäre der Name, aber wie ist sie definiert - wir wollen ja schließlich damit rechnen.