Berechnen Sie die allgemeine Lösung x(t) fur m = 1 und k = 4 sowie AWP.

Question

Aufgabe:

Am Ende einer elastischen Feder mit der Federkonstante k befindet sich eine Masse m. Wir
wollen die Schwingung des Feder-Masse-Systems modellieren. Die Differentialgleichung zur Bestimmung der Auslenkung x(t) der Masse zum Zeitpunkt t (bei kleinen Auslenkungen) lautet:

x°°(t)+\( \frac{k}{m} \)x(t)=0

Berechnen Sie die allgemeine Lösung x(t) fur m = 1 und k = 4. Lösen Sie das AWP mit
x(0) = 3, x°(0) = 2 und zeigen Sie, daß die Lösung des AWP in der Form x(t) = A sin(ωt + α) dargestellt werden kann und bestimmen Sie A, ω und α.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

\( x^{\prime \prime}(t)+\frac{k}{m} x(t)=0 \)

x''(t) + 4x(t) = 0

Charakt. Gleichung :λ^2+4=0

λ₁ =2 i

λ₂= -2i

----->
Lösung:

\( x(t)=c_{1} \cos (2 t)+c_{2} \sin (2 t) \)

x'(t)=- 2 C₁ sin(2t) + 2C₂ cos(2t)

AWB einsetzen:

--->

x(0) = 3 : 3=C₁

x'(0) = 2 : 2=2 C₂ ->C₂=1

------->

\( x(t)=3 \cos (2 t)+ \sin (2 t) \)

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|z|= √(3^2 +1^2)= √10

φ = arctan(3/1) =3

------->

x(t)= \( \sqrt{10} \sin \left(2 t+\tan ^{-1}(3)\right) \)

x(t) = A sin(ωt + α)

-->A, ω und α

A=√10

ω=2

α=\( \tan ^{-1}(3) \)