Äquivalenz zweier konvergenter Reihen

Question

Aufgabe:

Vor.:

Zwei, reelle Folgen (a_n) mit a_n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ  sind gegeben.

z. z.:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) ist konvergent ⇔ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}} \) ist konvergent

Problem/Ansatz:

Die Richtung ⇒ habe ich jetzt mit dem Majorantenkritierum gezeigt. Da ja stets \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) ≥ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}} \) gilt.

Ist das soweit in Ordnung?

Leider habe ich für die Rückrichtung ⇐ gar keine Ahnung. Hat da jemand einen Tipp oder könnte eine Lösung vorstellen? Ich bedanke mich für eure Mühe und Aufmerksamkeit.

Weihnachtliche Grüße,

eure Oblate

Comments

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \)  ⇔ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}} \)

Was bedeutet "⇔" in diesem Zusammenhang?

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Oh, das war mein Fehler. Habe es jetzt noch einmal ausgebessert. Es sollten natürlich zwei Aussagen sein.

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\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) ≥ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}} \) für alle n ∈ ℕ 

Der Quantor "für alle n ∈ ℕ" ist hier sinnlos, weil in

        \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) ≥ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}} \)

n überhaupt nicht als freie Variable vorkommt.

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Hab das auch noch rausgenommen und durch stets ersetzt. Aber das Majorantenkritierum kann man schon prinzipiell anwenden für die "⇒"-Richtunga, oder?

Nur die für die Rückrichtung fehlt mir kein sinnvolles Kriterium ein.

Danke schon mal für die Hinweise =)

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durch stets ersetzt

"Stets" ist ein etwas informell formulierter Quantor.

Meinst du nicht eher

        \(a_n \geq \frac{a_n}{a_{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}\)?

Das wäre falsch wegen \((a_n)_{n\in\mathbb{N}} \coloneqq \left(\frac{1}{2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\).

Answer 1

Zu "\(\Leftarrow\)":

Sei \(\sum\frac{a_n}{a_n+1}\) konvergent. Dann ist \((\frac{a_n}{a_n+1})\) eine Nulllfolge.

Daher gilt für fast alle \(n\): \(\frac{a_n}{a_n+1}\lt \frac{1}{2}\), folglich

\(a_n\lt 1\) für fast alle \(n\), d.h. \((a_n)\) ist eine beschränkte Folge und

somit ist auch \((a_n+1)\) eine beschränkte Folge.

Nach einem Satz über Reihen \(\sum b_n\) mit Gliedern \(b_n\geq 0\)

und beschränkten Folgen \((c_n)\) mit \(c_n\geq 0\) gilt:

\(\sum b_n\) konvergent \(\Rightarrow \sum c_nb_n\) konvergent.

Also ist \(\sum a_n=\sum (a_n+1)\cdot \frac{a_n}{a_n+1}\) konvergent.

Der zitierte Satz bedeutet nichts Anderes, als dass

\(\sum(Kb_n)=K\cdot \sum b_n\) für \(|c_n|\leq K\) eine konvergente Majorante

für \(\sum c_nb_n\) ist