Achtung:
Zu Beginn war im Titel noch \(k=0\) als Anfangsindex. Im Aufgabentext war zur selben Zeit \(k=1\), was ich als Typo interpretiert habe.
Zwichenzeitlich wurden Titel und Aufgabenstellung korrigiert auf nur noch \(k=1\).
Meine erste Lösung bezieht sich auf die ursprüngliche Aufgabe vom Titel mit \(k=0\).Für die zweite Variante siehe unten.
Folgende 2 Tatsachen sind gut zu wissen:
(1) \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac 1{1-q}\) für \(|q| <1\)
(2) Ist \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k q^k\) absolut konvergent, dann gibt das Cauchy-Produkt
\( \left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k q^k \right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^k a_{i}\right)q^k \)
(1) & (2) zussammen ergibt dann
\(\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)q^k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right) = \frac 1{(1-q)^2} \)
Nachtrag: Wohin sind die \(k+1\)?
Mit (2) gilt:
\(\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right) = \left(\sum_{k=0}^{\infty} 1\cdot q^k\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right) \)
\( \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{\left( \sum_{i=0}^k 1\right)}_{\underbrace{1+\cdots + 1}_{=(k+1)\cdot 1}} q^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k\)
Lösung für die geänderte Aufgabe:
\(\sum_{k=\color{blue}{1}}^{\infty} (k+1) q^k = q \sum_{k=1}^{\infty} (k+1) q^{k-1}\)
\(= q\sum_{k=\color{blue}{0}}^{\infty} (k+2) q^k\)
\(\stackrel{(2)}{=} q\left(1+\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right) \)
\(= \left(1+\sum_{k=0}^{\infty} q^k\right)\left(\sum_{k=1}^{\infty} q^k\right)\) (das gesuchte Produkt zweier Reihen)
\(=\left(1+\frac 1{1-q}\right)\frac q{1-q} = \frac{(2-q)q}{(1-q)^2}\)
Gegencheck mit WolframAlpha: Guckst du hier.
