cauchyprodukt zweier absolut konvergenter potenzreihen. was ist der konvergenzradius der neuen reihe?

Question

es werden zwei absolut konvergente Potenzreihen mit Konvergenzradius r miteinander multipliziert, beispielsweise mit dem Cauchy-Produkt.

Wie lautet dann der Konvergenzradius der neuen Reihe?

In Wikipedia steht nur:

"Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius rr {\displaystyle r}     ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens r r {\displaystyle r}    ist."

Gibt es eine konkrete Formel mit der man den neuen Konvergenzradius berechnen kann oder muss man für die entstandene Reihe den Konvergenzradius berechnen mit Cauchy-Hadamard oder Quotientenkriterium?

Answer 1

Das hängt immer von den speziellen Reihen ab.
Allgemein kann man nur sagen: Der Konvergenzradius des

Produktes ist immer mindestens so groß wie der kleinere der

Konv.radien der beiden Faktoren

Comments

Von was hängt das beispielsweise ab?

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Von den genauen Aufbau der Summanden.

Ich glaube nicht, dass es weitergehende

allgemeingültige Aussagen

darüber gibt.

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Aber wenn ich den Wert der beiden Reihen kennen würde (z. B. zwei geometrische Reihen) dann wäre der Wert der neuen Reihe das Produkt aus den zwei Werten der Ausgangsreihen oder?

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Es geht doch wohl um Potenzreihen,

sonst macht das mit dem Konvergenzradius

ja wenig Sinn.

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Die erste Frage war auf Potenzreihen bezogen ja :)

Die zweite gerade auf allgemeine Zahlenreihen, wenn man diese miteinander multipliziert.

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Für das zweite ist es dann richtig.