Berechnen Sie den folgenden R-Integral.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den folgenden R-Integral.
$\int \limits_{A} \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right)$ für $A:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x_{1}, x_{1} \leq x_{2}, x_{2} \leq \pi / 2\right\}$.

Answer 1

Aloha :)

Die Bedingungen an die Punkte $(x;y)\in\mathbb R^2$ innerhalb der Punktmenge $A$ lauten:$$0\le x\quad;\quad x\le y\quad;\quad y\le\frac\pi2\quad\implies\quad x\in\left[0;\frac\pi2\right]\quad;\quad y\in\left[x;\frac\pi2\right]$$Das heißt, du musst zuerst über $dy$ integrieren und anschließend über $dx$:

$$I=\int\limits_A\cos(x+y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\;\int\limits_{y=x}^{\pi/2}\cos(x+y)\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left[\sin(x+y)\right]_{y=x}^{\pi/2}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left(\sin\left(x+\frac\pi2\right)-\sin(2x)\right)dx=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left(\cos x-\sin(2x)\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[\sin x+\frac12\cos(2x)\right]_{x=0}^{\pi/2}=\left(1-\frac12\right)-\left(0+\frac12\right)=0$$

Answer 2

Hallo

einfach zuerst nach x1 integrieren, dann nach x2 wo liegt deine Schwierigkeit, die Grenzen sind doch einfach die Quadratseiten ?

Gruß lul