Was ist an der folgenden Berechnung falsch? (Bestimmtes Integral)

Question

Aufgabe:

Was ist an der folgenden Berechnung falsch?

\( \int \limits_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{2}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2} \)

Answer 1

da gibt es nichts zu berechnen. Guck dir an über was für einem Intervall integriert wird und finde den Fehler.

Gruß

Answer 2

Es soll die Fläche in dem eingezeichnetem Intervall berechnet werden.

Was fällt dir an dem Graphen auf.

Was passiert für x -> 0 mit der Fläche?

Comments

x ist (streng) monoton steigend, daher ist eine berechnung der fläche nicht möglich?

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Das stimmt erstens nicht und hat keine Aussage über das gefragt.

Für x-> 0 läuft der Graph gegen unendlich. Das ist der Fall, da der Graph für x= 0 nicht definiert ist. Deshalb gibt es keine zu integrierende Fläche.

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Die Funktion hat zwar eine Polstelle, aber trotzdem könnte das Integral als uneigentliches Integral existieren.
Um das zu überprüfen, muss man überprüfen, ob die Integrale \(\int_{-1}^0 \! \frac{1}{x^2} \, dx \) und \(\int_0^2 \! \frac{1}{x^2} \, dx \) existieren. Wenn beide existieren, dann ist \(\int_{-1}^2 \! \frac{1}{x^2} \, dx=\int_{-1}^0 \! \frac{1}{x^2} \, dx + \int_0^2 \! \frac{1}{x^2} \, dx \).
Hier existieren aber beide Teilintegrale nicht.

Jedenfalls ist das Vorliegen einer Polstelle allein kein Grund, dass das (uneigentliche) Integral nicht existiert.

Was aber auf jeden Fall nicht geht, ist, einfach über eine Polstelle hinweg zu integrieren (wie es der Fragesteller gemacht hat).

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Man kann über eine solche Polstelle intergrieren ? Kannst du  mir mal ein Beispiel nennen. Kann mir da grad nichts drunter vorstellen.

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Z.B. \(\int_{-1}^1 \! \frac{1}{\sqrt{|x|}} \, dx \).

Da ist \(\int_{-1}^0 \! \frac{1}{\sqrt{|x|}} \, dx =\lim\limits_{c\nearrow 0} \int_{-1}^c \! \frac{1}{\sqrt{-x}} \, dx =\lim\limits_{c\nearrow 0} \left[-2\sqrt{-x}\right]_{-1}^c=\lim\limits_{c\nearrow 0} \left(-2\sqrt{-c}+2\sqrt{1}\right)=2\) und \(\int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{|x|}} \, dx =\lim\limits_{c\searrow 0} \int_c^1 \! \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx =\lim\limits_{c\searrow 0} \left[2\sqrt{x}\right]_c^1=\lim\limits_{c\searrow 0} \left(2\sqrt{1}-2\sqrt{c}\right)=2\).

Deswegen ist \(\int_{-1}^1 \! \frac{1}{\sqrt{|x|}} \, dx =2+2=4\).

Allgemein gilt: Die Funktion \(x\mapsto \frac{1}{|x|^\alpha}\) hat für positives \(\alpha\) bei \(x=0\) eine Polstelle.
Für \(0<\alpha<1\) existiert das uneigentliche Integral \(\int_{-1}^1 \! \frac{1}{|x|^\alpha} \, dx \) (d.h. die Fläche unter dem Graphen zwischen x=-1 und x=1 ist endlich, oben war \(\alpha=\frac{1}{2}\)), für \(\alpha \geq 1\) existiert das Integral nicht (da ist die Fläche "unendlich groß").