Partielle Differentialgleichungen lösen: u_t = u_xx, für x∈(0,2), t∈(0,∞)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die 2-periodische (nicht: \( 2 \pi \) -periodische!) Abbildung, die gegeben ist durch

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in[0,1) \\ -1, & x \in[1,2) \end{array}\right. \)

(a) Bestimmen Sie die reelle Fourier-Reihe von \( f \).

(b) Lösen Sie die partielle Differentialgleichung
\( u_{t}=u_{x x}, \quad \text { für } \quad x \in(0,2), t \in(0, \infty) \)
mit
\( u(0, t)=0=u(2, t) \quad \text { und } \quad u(x, 0):=f(x) \)
Aufgabe P 43 . Lösen Sie die partielle Differentialgleichung
\( u_{t}=u_{x x}+\sin (3 x), \quad \text { für } \quad x \in(0, \pi), t \in(0, \infty) \)
mit
\( u(0, t)=0=u(\pi, t) \quad \text { und } \quad u(x, 0)=0 \)

Answer 1

Zur P42a)

 

Als erstes eine Skizze, dann fällt auf, dass unser Intervall zwischen 0 und 2 liegt und bzgl x = 1 Punktsymmetrie vorliegt. Das kann ausgenutzt werden.

 

Ansatz:

a_k = 0   (Punktsymmetrie)

$$b_k = \frac{2}{2}\int_0^2 f(x) \sin(n\pi(x-1))\; dx$$

Beachte, dass es x-1 ist, da wir Punktsymmetrie nicht zum Ursprung, sondern zu x = 1 haben.

Diese ausnutzen:

$$= 2\int_0^1 \sin(n\pi(x-1)) = \frac{2((-1)^n-1)}{\pi n}$$

Folglich lautet die Fourierreihe

$$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2((-1)^n-1)}{\pi n}\sin(n\pi(x-1))$$

 

Zu den partiellen DGL's: Wie gesagt, ich bin hier kein Freund von.

Aber generell ist es immer das gleiche Schema.

Annehmen, dass w_t/w = v_xx/v = λ (also konstant) sein muss und lösen.

 

Grüße

Answer 2

Fourierreihe: mit T=2

f(x) = a₀/2 + ∑(n=0..∞) a_n * cos(nπx) + b_n *sin(nπx)

Da f(x) ungerade, gilt:

a_n = 0

b_n = 4/T * ∫(x=0..T/2) b_n *sin(nπx) *f(x) dx = 2 *∫(x=0..1) b_n *sin(nπx) dx

= 2* [-1/(nπ) * cos(nπx)]₀¹

= -2/(nπ) * (cos(nπ) -1)

für n gerade: b_n = 0

für n ungerade: b_n = 4/(nπ)

mit n=2k+1  (k∈ℕ₀) gilt:

f(x) = 4/π * ∑(k=0..∞) 1/(2k+1) *sin((2k+1)πx)