Flächeninhalt Vierflach

Question

Wie berechne ich den Flächeninhalt des Vierflachs: Vektor xA:(1/3/0); xB:(5/1/0); xC:(2/6/0);xS:(2/1/4) Und wie berechne ich das Volumen der Figur?

Answer 1

Der Flächeninhalt einer jeden Fläche des Vierflachs ist die Hälfte des Betrages des Kreuzproduktes der Vektoren, die die jeweilige Fläche aufspannen.

Begründung: Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren A und B gibt den Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ABCD an. Die Strecke AC ist Diagonale des Parallelogramms und halbiert dieses daher, sodass das Dreieck ABC gerade den halben Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD hat.

Also gilt für den Flächeninhalt A_ABC des Dreiecks ABC:

A_ABC = 0,5 * | ( B - A ) x ( C - A ) |

für den Flächeninhalt A_ABD des Dreiecks ABD:

A_ABD = 0,5 * | ( B - A ) x ( D - A ) |

für den Flächeninhalt A_ACD des Dreiecks ACD:

A_ACD = 0,5 * | ( C - A ) x ( D - A ) |

und für den Flächeninhalt A_BCD des Dreiecks BCD:

A_BCD = 0,5 * | ( C - B ) x ( D - B ) |

 

Für das Volumen V eines Vierflachs, welches durch die Vektoren a, b und c aufgespannt wird, gilt:

V = ( 1 / 6 ) * | ( a x b ) * c |

Vorliegend gilt dabei z.B.:

a = AB = B - A

b = AC = C - A

c = AD = D - A

Das Zeichen " x " bezeichnet wieder das Kreuzprodukt und das Zeichen " * " das Skalarprodukt.

Ich setze voraus, dass du weißt, wie man das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt von zwei Vektoren sowie den Betrag eines Vektors berechnet.