Zeigen dass für eine Sekante durch die zwei Punkte auf der Normalparabel folgendes gilt

Question

Aufgabe: Zeigen sie dass für eine sekante durch die zwei Punkte A(a/a^2) und B(b/b^2) auf der normal Parabel zu f(x)=x^2 folgendes gilt:

1) Die sekante die Steigung a+b hat

2) Die sekante die y Achse im Punkt (0/-ab) schneidet

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das machen soll

Answer 1

Zeigen sie dass für eine sekante durch die zwei Punkte A(a/a^2) und B(b/b^^ 2) auf der Normalparabel zu f(x)=x^2 folgendes gilt:

1) Die sekante die Steigung a+b hat

      Formel für Sekantensteigung (Differenzenqoutient ) ist doch

             \(   m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\) Hier also   \(  m = \frac{a^2-b^2}{a-b}\)

Nach der 3. binomischen Formel also \(  m = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\)

nach Kürzen der Differenzen bleibt m=a+b.  q.e.d.

2) Die sekante die y Achse im Punkt (0/-ab) schneidet:

Gleichung der Sekante ist ja vom Typ   y= m*x + n

und m haben wir ja, also  y= (a+b)*x + n . Jetzt einen der Punkte einsetzen

                             a^2 =  (a+b)*a + n

                       <=>   a^2 = a^2 + ba + n

                          <=>    -ba = n

Und n ist ja der y-Achsenabschnitt, also alles gezeigt.

Answer 2

1) m= (b^2-a^2)/(b-a) = ((b+a)(b-a))/(b-a) = b+a = a+b

2) s(x) = m*x+n (Sekantengleichung)

b^2= (a+b)*b+n

n= b^2-(a+b)*b

s(x)= (a+b)*x+ b^2-(a-b)*b

s(0) = b^2-ab-b^2 = -ab q.e.d.