Rechenweg Funktionsänderung totales Differential

Question

Gegeben sei die Funktion

f(x1,x2)=10x₁^{0.65 .} x₂^0.25

Wie stark ändert sich die Funktion an der Stelle a=(18,6), wenn das erste Argument um 0.1 steigt und das zweite Argument um 0.2 sinkt? Berechnen Sie die dadurch hervorgerufene Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials.

Answer 1

Aloha :)

Wir benötigen von der Funktion$$f(x;y)=10x^{0,65}y^{0,25}$$das totale Differential$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=6,5x^{-0,35}y^{0,25}\,dx+2,5x^{0,65}y^{-0,75}\,dy$$speziell an der Stelle \(a=(18;6)\)$$df(18;6)=3,69918\,dx+4,26829\,dy$$um für \(\Delta x=0,1\) und \(\Delta y=-0,2\) die Änderung \(\Delta f\) der Funktion abzuschätzen:$$\Delta f\approx3,69918\,\Delta x+4,26829\,\Delta y=3,69918\cdot0,1-4,26829\cdot0,2=-0,48374$$