Bestimmen ob Folgen konvergent sind und dies beweisen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( c_{n}=-n+\frac{1}{n} \)
\( d_{n}=\frac{\cos (n \pi / 2)}{n} \)

Comments

Wie sind denn deine Vermutungen?

Answer 1

c_n geht für n gegen ∞ gegen -∞.

(Bew.: Zeige, dass es zu jedem C<0 ein  N gibt mit

                              n>N ==>   c_n < C

Für d_n: Setze mal n=0,1,2,3,... ein.

Dann ergibt sich im Zähler 1,0,-1,0,1,0,-1,... etc.

Alsogilt für alle d_n :

     -1/n ≤ d_n ≤1/n

Weil die rechte und die linke Schranke beide gegen 0 gehen,

tut d_n das auch.

Comments

Das macht sinn, aber die Folge konvergiert ja gegen -∞. Und nach der offiziliene Definition von Konvergenz soll ja |an - a| kleiner als epsilon sein. Allerdings kann ich -∞ nicht für a einsetzen. Soll ich einfach einen beliebigen sehr grossen minus wert für a einsetzen oder etwas anderes

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Die von dir zitierte Def. gilt nur für a∈ℝ.

Bei Grenzwert -∞ lautet es wohl eher so:

Zu jedem C<0 gibt es ein N∈ℕ so dass gilt:

∀n∈ℕ  n>N ==> a_n < C

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Ich habe noch mal nachgeguckt, und laut dem Internet ist diese Folge "bestimmt divergent", also für n-> ∞ gegen -∞ geht.