Seien a, b, c, d ∈ R und
f : D ⊂ ℝ → ℝ, f(x) :=\( \frac{ax+b}{cx+d} \)
(a) Bestimmen Sie die größtmögliche Menge D ⊂ ℝ, auf der f wohldefiniert ist, sowie das Bild f(ℝ).
(b) Untersuchen Sie f auf Injektivität und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse f−1: f(ℝ) → ℝ.
Mein Ansatz :
(a) Da bei x=0 → d≠0 sein muss, ist die rationale Funktion nur bei x=0 nicht definiert ist, wenn d=0 ist. Ansonsten ist die Funktion überall definiert, daher ist die größtmögliche Menge D={ℝ Ι cx+d≠0}.
(b) Die Funktion ist überall injektiv außer an der Stelle, wo die Funktion nicht definiert ist (x=0, d=0).
Inverse : x = (a*f+b)/(c*f+d) <=> xcf+xd = af+b <=> xcf-af = b-xd <=> f*(xc-a) = b-xd <=> f-1(x) = (xc-a)/(b-xd)
Würde mich auf Antworten freuen.
