Bild(f) ∪ Bild(g) ⊂ Bild(f + g)

Question

Aufgabe:

Seinen V,W Vektorräume über einem Körper K und f,g lineare Abbildungen von V nach W. Gilt dann stets

1. Bild(f + g) ⊂ Bild(f) + Bild(g) ?

2. Bild(f) ∪ Bild(g) ⊂ Bild(f + g) ?

Problem/Ansatz:

Von Aufgabe 1 habe ich hier bereits eine Antwort gesehen.

Sei y ∈ Bild(f+g)  ==>  ∃ x∈V   y=(f+g)(x)  = f(x) + g(x)

Da u:=f(x) ∈ Bild(f)  und w:=g(x) ∈ Bild(g)

existieren also u: ∈ Bild(f)  und w ∈ Bild(g)

mit y =  u + w

also y ∈ Bild(f+g)

Allerdings habe ich keine Idee, wie ich Aufgabe 2 lösen kann. Ich würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Bei 1.) meintest du bestimmt \(y\in\) Bild\((f)+\)Bild\((g)\).

2.) stimmt nicht. Wir betrachten \(V=W=\mathbb{R}^2\) mit den linearen Abbildungen

$$ f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} -x\\x+y\end{pmatrix}\\[10pt] g:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 2x\\-y\end{pmatrix} $$

Sei \(y:=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\).Dann hat man mit \(u:=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\) auch \(g(v)=y\), sodass \(y\in\) Bild\((f)\cup\)Bild\((g)\) folgt.

Es gilt aber nun

$$ f+g: \ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x\\x\end{pmatrix}$$

womit kein \(v\in \mathbb{R}^2\) mit \((f+g)(v)=y\) existiert, also \(y\notin \) Bild\((f+g)\) gilt.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Bild(f) ∪ Bild(g) ⊂ Bild(f + g) 

ist im allg. falsch. Gegenbeispiel

f : R^2 → R^2  mit f(x,y) = (x,0) und

g : R^2 → R^2  mit g(x,y) = (-x,0) .

Dann ist Bild(f) = Bild(g) = { (z;0) | z ∈ ℝ }

Aber (f+g)(x,y) = ( 0;0) für alle (x,y) ∈ R^2.