Gegeben: Unterräume U1:=Lin({(0,1,0,1)}),U2,U3. Gesucht: Komplement von U1+U2 und Basis von U1 n U2…

Question

Hey kann mir hier jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Im ℝ⁴ sind folgende Unterräume U_i erklärt:

U₁:=Lin({(0,1,0,1)}),  U₂:=Lin({(0,1,0,0),(1,0,1,0)}),   U₃:=Lin({(1,0,1,0),(0,1,0,1)}).

a) Bestimmen Sie alle Komplemente von U₁+U₂, U₂+U₃, U₁+U₂+U₃, die durch Vektoren der kanonischen Basis von ℝ⁴ aufgespannt werden. (Welche dieser Summen sind direkt?)

b) Bestimmen Sie die Basen der Unterräume U₁ ∩ U₂, U₂ ∩ U₃, U₁+(U₂ ∩ U₃)

 

Answer 1

a.i) U₁+U₂ = Lin ({(0,1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}
Da die drei Vektoren linear unabhängig sind, ist der aufgespannte Raum dreidimensional, das Komplement also eindimensional.
Gesucht sind also alle Unterräume, die von einem einzigen kanonischen Basisvektor aufgespannt werden und nicht in U₁+U₂ liegen. Das sind:
W₁ = Lin ({(1, 0, 0, 0)})
W₂ = Lin ({(0, 0, 1, 0)})
Diese Summe ist direkt.

ii) U₂+U₃ = Lin ({(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)})
⇒ W₁ = Lin ({(1, 0, 0, 0)})
W₂ = Lin ({(0, 0, 1, 0)})
Die Summe ist nicht direkt.

iii) U₁+U₂ +U₃ = Lin ({0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}) = U₁+U₂ = U₂+U₃

Die Basen der Komplemente sind also wieder dieselben. Auch diese Summe ist nicht direkt.

b.i) U₁∩U₂ = {0}
Basis besteht nur aus dem Nullvektor.

ii) U₂∩U₃ = Lin ({(1, 0, 1, 0)})
B = {(1, 0, 1, 0)}

iii) U₁+(U₂ ∩ U₃) = Lin ({(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)})

B = {(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)}