Betrachten dieser Funktion

Question

Aufgabe:

\(f(x)=\frac{1}{x^{4}}, x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \quad \text { und } \quad g(x)=\sqrt[4]{x}, x \in[0, \infty) \text {. }\)

a) Bestimmen Sie nur unter Verwendung der Definition des Differentialquotienten den Wert der Ableitung \( f^{\prime}(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) sowie den Wert der Ableitung \( g^{\prime}(x) \) für \( x \in(0, \infty) \).

b) Begründen Sie für die Funktion \( g(x) \) die Existenz bzw. Nichtexistenz der rechtsseitigen Ableitung in \( x=0 \).

Problem/Ansatz:

Betrachten dieser Funktion

Answer 1

Bei f wohl so:

\(   \frac{f(x+h)-f(x)}{h}  =  \frac{\frac{1}{(x+h)^4}-\frac{1}{x^4}}{h} \)

\(  =  \frac{\frac{x^4}{x^4 \cdot (x+h)^4}-\frac{(x+h)^4}{x^4\cdot (x+h)^4}}{h} \)

\(  =  \frac{x^4-(x+h)^4}{h \cdot x^4 \cdot (x+h)^4} \)

bin. Formel für hoch 4

\(  =  \frac{-4hx^3 -6h^2x^2-4h^3x-h^4}{h \cdot x^4 \cdot (x+h)^4} \)

h kürzen

\(  =  \frac{-4x^3 -6hx^2-4h^2x-h^3}{ x^4 \cdot (x+h)^4} \)

Für h gegen 0 bleibt \(\frac{-4x^3}{ x^8} = \frac{-4}{ x^5}  = -4 \cdot x^{-5}\)