Konvergenz der Integral betrachten

Question

Ich habe die folgende Aufgabe:

Betrachten die Konvergenz der folgende Integralen.

\( \int\limits_{1}^{\infty} \) arctan(-e^x ) / sin(1/x)

Problem/Ansatz:

Ich setze mich seit lange mit diese Aufgabe. Ich hab gedacht es mit dem Majorantenkriterium für Integralen oder mit dem Integralkriterium für Reihen zu lösen. Das Problem ist das ich kann nicht andere Funktionen finden, mit denen ich das vergleichen kann um eine von diese zwei Kriterien zu verwenden.

Ich bedanke euch im Voraus für die Hilfe

LG

Answer 1

Im Intervall von 1 bis ∞ fällt der Zähler des Integranden von ca. -1,22 auf ca -3.14 (und lässt sich somit nach oben und nach unten abschätzen).

Der Nenner fällt von 1 auf 0. Zur Abschätzung des Nenners kann man möglicherweise folgendes verwenden:

Für alle positiven z gilt sin(z) < z, damit gilt auch sin\(( \frac{1}{x}) \)<\( \frac{1}{x} \).