Hallo,
für f1 (x) = sin(2x)
y''' − 2y'' + 2y ' = sin(2x)
Ansatz: y=e^(λx) , 3Mal ableiten und in die DGL einsetzen:
----->charakteristische Gleichung λ^3 − 2λ^2 + 2λ =0
λ(λ^2 − 2λ + 2) =0
λ1=0
λ^2 − 2λ + 2 =0 ; pq-Formel
λ2,3= 1±√(1 -2)
λ2,3= 1±√-1
λ2,3= 1± i
\( yh(x)=c_{1}+c_{2} e^{x} \cos (x)+c_{3} e^{x} \sin (x) \)
yp= A cos(2x) +B sin(2x)
--->yp 2 Mal ableiten , yp yp' yp'' in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich tätigen
\( y_{p}(x)=\frac{1}{20} \cos (2 x)+\frac{1}{10} \sin (2 x) \)
y=yh+yp
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(b) Bestimmen Sie für j = 1, . . . , 4 die Lösung, wobei
f1 (x) = sin(2x) ------->siehe oben
f2 (x) = e^x sin(x)
yp=A x e^x cos(x)+B x e^x sin(x)
Lösung:
\( y(x)= -\frac{1}{4} e^{x} x \cos (x)-\frac{1}{4} e^{x} x \sin (x)+c_{1}+c_{2} e^{x} \cos (x)+c_{3} e^{x} \sin (x) \)
f3 (x) = 1
yp=A x
Lösung:
\( y(x)=\frac{x}{2}+c_{1}+c_{2} e^{x} \cos (x)+c_{3} e^{x} \sin (x) \)
f4 (x) = x.
yp=A x+B x^2
Lösung:
\( y(x)=\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+c_{1}+c_{2} e^{x} \cos (x)+c_{3} e^{x} \sin (x) \)
