Lösungsmenge über F4

Question

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
\( \begin{aligned} {[2] y+z } & =[0] \\ x+z & =[1] \end{aligned} \)
Bestimme dessen Lösungsmenge über
(a) \( \mathbb{F}_{3} \)
(b) \( \mathbb{F}_{4} \).

Kann mir jemand die b) erklären?

Comments

Ich (und vermutlich nicht nur ich) fühle mich gerade ein wenig verarscht.

Du stellst üblicherweise 08-15-Fragen aus dem Mathematikunterricht der Klasse 10, und plötzlich kommt eine Frage auf Universitätsniveau?

Answer 1

Zu (b):

Ich schreibe \(F_4\) als \(F_2(\alpha)=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}\)

mit \(\alpha^2+\alpha+1=0\) und \(2=0\).

Dann geht das LGS über in

\(z=0 \wedge x=1\). Die Lösungsmenge ist daher

\(\{(1,0,0),(1,1,0),(1,\alpha,0),(1,1+\alpha,0)\}\).

Comments

ich hab hier auch die musterlösung. Leider habe ich es nicht verstanden

BeweIS: (a) In \( \mathbb{F}_{3} \) müssen wir das LGS nicht umschreiben, da das LGS bereits nur aus Elementen von \( \mathbb{F}_{3} \) besteht. Aus der ersten Gleichung folgt direkt \( y=z \). Setzten wir nun nacheinander für \( x \) die verschiedenen Elemente aus \( \mathbb{F}_{3} \) ein:
- Für \( x=0 \) folgt \( z=y=1 \), also ist [0:1:1] eine Lösung.
- Für \( x=1 \) ist \( z=y=0 \), also ist \( [1: 0: 0] \) eine Lösung.
- Für \( x=2 \) folgt \( z=y=2 \) und somit ist [2:2:2] eine Lösung.
(b) Für die Betrachtung des LGS über dem Körper \( \mathbb{F}_{4} \) schreiben wir die Elemente des LGS in Elemente aus \( \mathbb{F}_{4} \) um:
\( \begin{aligned} z & =[0] \\ x+z & =[1] \end{aligned} \)
Folglich ist direkt \( z=0 \) aus der ersten Gleichung und somit \( x=1 \). Da \( y \) im LGS nicht vorkommt, ist \( y \) beliebig. Somit gibt es in \( \mathbb{F}_{4} \) die Lösungen \( [1: 0: 0],[1: 1: 0],[1: X: 0] \) und \( [1: X+1: 0] \).