Zeigen Sie: Es gibt keine überabzählbare Familie ...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Es gibt keine überabzählbare Familie \( \left(U_{j}\right)_{j \in J} \) von offenen Intervallen mit

                                                              U_i im schnitt mit U_j   (paarweise disjunkt)

für alle \( i, j \in J \) mit \( i \neq j \).

Answer 1

Angenommen, es gäbe eine solche überabzählbare Familie.

Jedes offene Intervall \(U_j\) enthält eine rationale Zahl \(x_j\in U_j\),

da \(\mathbb{Q}\) dicht in \(\mathbb{R}\) ist.

Da die \(U_j\) disjunkt sind, gäbe es also überabzählbar

viele verschiedene rationale Zahlen,

was bekanntermaßen nicht der Fall ist.