Beweis von Stetigkeit von f(x) = (2x-1)/x^2 für x aus R\0

Question

Aufgabe:

Man soll beweisen, dass die Funktion f(x) = $$\frac{2x-1}{x^{2}}$$ mit D(f) = R\{0} stetig ist mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums.

Mein Ansatz:

lf(x)-f(x₀)l = $$\text{I} \frac{2x-1}{x^{2}} - \frac{2x_{0}-1}{x_{0}^{2}} \text{I}$$ = $$\text{I} \frac{2}{x} - \frac{2}{x_{0}} + \frac{1}{x_{0}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \text{I}$$ < $$2δ \text{I} \frac{1}{xx_{0}} \text{I} + \frac{1}{x_{0}^{2}}$$

Ich weiß nicht, wie ich das letzte x aus dem Term bekomme. Und auch nicht, wie das ist, wenn x und x0 nicht beide positiv bzw negativ sind.

Vielen Danke für Hilfe im Voraus :)

Comments

Steht bei der Aufgabe, dass du das mit Epsilon-Delta-Kriterium machen sollst?

Answer 1

$$ \left| \frac{2x-1}{x^2} - \frac{2x_0-1}{x_0^2} \right| \le 2 \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| +  \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x_0^2}  \right| $$

Damit ist das Problem zurückgeführt auf den Nachweis der beiden Funktionen \( f(x) = \frac{1}{x} \) und \( g(x) = \frac{1}{x^2} \)

Für \( f(\cdot) \) kann man den Nachweis z.B. wie folgt führen

$$ \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| < \epsilon \Leftrightarrow  \left| x_0 - x \right| < \epsilon |x x_0 | < \epsilon |x_0| ( x_0| + \delta ) \stackrel{\mathrm{!}}= \delta $$

Letzte Gleichung nach \( \delta \) auflösen und Du hast ein passendes \( \delta \) gefunden.

Ich denke mit der Funktion \( g(\cdot) \) geht es ähnlich.