Zeigen Sie, dass die Folge an = \sqrt{n} die Eigenschaft hat, dass es für alle Ɛ > 0 ein n0 gibt..

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge a_n = \( \sqrt{n} \) die Eigenschaft hat, dass es für alle Ɛ > 0 ein n₀ gibt, so dass für alle n > n₀ die Abschätzung |a_n+1 -a_n| < Ɛ gilt.
Ist die Folge eine Cauchy Folge?

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht genau, wie man die Aufgabe löst... ist das Ganze mit dem Heron Verfahren möglich?

Answer 1

Sei ε>0. Dann soll man zeigen  \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \lt ε \)

Betrag entfällt ja. Nimm das mal \( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)

Das gibt ( ist ja alles positiv.)

\( (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \lt ε \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \)

<=>  \( 1  \lt ε \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \)

<=>  \(  \frac{1}{ε} \lt \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)   #

Aber es ist ja   \(   \sqrt{n+1} + \sqrt{n}  \gt 2 \cdot \sqrt{n} \)

Also ist # jedenfalls erfüllt, wenn

\(  \frac{1}{ε} \lt  2 \cdot  \sqrt{n} \)

<=> \(  \frac{1}{2ε} \lt  \sqrt{n} \)

<=> \(  (\frac{1}{2ε})^2  \lt n \)

also für \( n \gt (\frac{1}{2ε})^2    \)

Und dazu ist n_o passend zu wählen.

Comments

Vielen Dank!

Da wollte ich anscheinend zu weit denken... das ist auf jeden Fall sinnvoller so.

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Muss es nicht heißen:

Also ist # erfüllt, wenn

$$\frac{1}{\epsilon}<2\sqrt{n} \text{  denn }2 \sqrt{n} < \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$

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Ah ja, da hatte ich nicht aufgepasst.

Ich korrigiere das.