Zeigen Sie, dass die Funktion h: ℝ → ℝ mit

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1. Es sei \( x_{0} \in \mathbb{R} \) beliebig. Ferner seien stetige Funktionen \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben. Zeigen Sie, dass die Funktion \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( h(x)=\left\{\begin{array}{ll} f(x) & \text { für } x \in \mathbb{Q}, \\ g(x) & \text { für } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{array}\right. \)

genau dann stetig in x0 ist, wenn f(x0) = g(x0) gilt.

Problem/Ansatz: Ich habe leider keinen Ansatzt dafür.

Comments

Zeigen Sie, dass h ...?

Ich weiß nicht genau wie man es mit f(x) und g(x) ...?

Ist das ein Lückentext oder eine Mathematikaufgabe?

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Tut mir leid hab es jetzt bearbeitet

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h stetig in x0 <=> f(x0) = g(x0)

"=>" Per Konraposition "f(x0) ≠ g(x0) => h nicht stetig in x0"

Sei also f(x0) ≠ g(x0). Wähle Folgen (a_n) in Q, und (b_n) in R/Q, s.d. beide gegen x0 konvergieren.

Dann ist \( \lim_{n\to \infty} h(a_n) = \lim_{n\to \infty} f(a_n) = f(x_0) \) und \( \lim_{n\to \infty} h(b_n) = \lim_{n\to \infty} g(b_n) = g(x_0) \), da f und g stetig sind.

Es ist also \( \lim_{n\to \infty} h(a_n) \neq \lim_{n\to \infty} h(b_n) \), weshalb h nicht stetig in x0 ist. (Folgenkriterium, der Limes \( \lim_{x\to x_0} h(x) \) existiert nicht)

"<=" Sei eps > 0. Wir finden d1, d2 > 0. s.d.

|x - x0| < d1 => |f(x) - f(x0)| < eps

und

|x - x0| < d2 => |g(x) -g(x0)| < eps

|g(x) -g(x0)| < epsfür alle x. f und g sind immerhin stetig (Epsilon-Delta Kriterium)

Ist nun d := min(d1, d2), dann gilt

|x - x0| < d => (|f(x) - f(x0)| < eps) und (|g(x) -g(x0)| < eps) => |h(x) - h(x0)| < eps

(In der letzten Implikation geht ein, dass f(x0) = g(x0) ist)