Ist es richtig, dass Σ_{m=1}^{M} Σ_{n=1}^{∞} s_{n}(T) \vert a_{mn} \vert = Σ_{n=1}^{∞} Σ_{m=1}^{M} s_{n}(T) \vert …

Question

Aufgabe:

Summen vertauschen

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe leider folgendes Problem bei einem Beweis. Ist es richtig, dass $$\sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^{\infty} s_{n}(T) \vert a_{mn} \vert =  \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{M} s_{n}(T) \vert a_{mn} \vert$$ gilt? man also die reihenfolge der Summation vertauschen kann? Soweit ich weiss ist das für Summen bis zu einer endlichen Zahl immer richtig. Hier geht aber nunmal eine Summe bis unendlich. Allerdings weiss man, dass die (zu Beginn) innere Summe konvergiert... ich hoffe damit die Vertauschung der Summen begründen zu können, weiss aber nicht auf welchem Satz das beruht? Danke schonmal im Voraus!

Comments

Riemannsche Umordnungssatz :)

Du musst zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist

Answer 1

Hallo,

de facto machst Du keine begründungspflichtige Reihenumformung. Wenn

$$A=\sum_{k=0}^{\infty}a_k \qquad B=\sum_{j=0}^{\infty}b_j$$

Dann ist (es werden nur Faktoren in eine Reihe hineingezogen):

$$AB=B \sum_{k=0}^{\infty}a_k = \sum_{k=0}^{\infty}Ba_k=\sum_{k=0}^{\infty} \left(a_k \sum_{j=0}^{\infty}b_j\right) =\sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{\infty}a_kb_j\right)$$

Genaus kann man das Produkt in der anderen Reihenfolge aufschreiben.

Gruß Mathhilf