Cauchy Produkt Potenzreihe mit Exponent 3

Question

Aufgabe:

ich muss folgende potenzreihe mithilfe vom cauchy satz lösen:

$$(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}*t^n)^3$$

Problem/Ansatz:

ich weiss wie man eine potenzreihe mithilfe des cauchy satzes lösen kann nämlich kommt dann für hoch 2 bei der potenzreihe raus:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k}*t^k *a_{n-k}*t^{n-k}$$

Nur wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich würde jetzt nochmal den cauchy ansatz anwenden nur bin ich verwirrt wie man dann die reihe handhaben sollte.

Comments

Man kann Probleme, Aufgaben, Gleichungen und z.B. Zucker lösen, aber

keine Reihen ...

Answer 1

Ich würde das so machen:$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{\stackrel{(k,l,m)\in N^3}{k+l+m=n}}a_ka_la_m)*t^n$$

Comments

ahhhh ja vielen dank für die Antwort, ich wusste net dass man das cauchy produkt so benutzten kann. Hat dann die zweite Reihe keine obergrenze? und wie würde man dann zum Beispiel das erste Folgeglied berechnen mit n= 0 da k,l,m noch nicht ganz definiert sind.

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\(0=n=k+l+m\) liefert als einzige Möglichkeit \(k=l=m=0\), also das

Tripel \((0,0,0)\).

\(1=n=k+l+m\) liefert die Möglichkeiten

\((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\text { für } (k,l,m)\),

und als letztes Beispiel noch

\(2=k+l+m\) liefert die Indextripel

\((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\).

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Besten Dank! Hab ewig dran gesessen und es tut endlich mal gut die Lösung dazu zu wissen ;)