Hallo :-)
Betrachte doch einfach mal \(A\in \text{Mat}(2\times 2; \mathbb{K})\) beliebig mit
$$ A:=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $$
und damit
$$ A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+dc&bc+d^2\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} $$
Betrachte nun damit die Gleichung
$$ \alpha\cdot E_2+\beta\cdot A+\gamma\cdot A^2=\textbf{0}, $$
also
$$ \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\gamma\cdot \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+dc&bc+d^2\end{pmatrix} $$
bzw.
$$ \alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}+\gamma\cdot \begin{pmatrix}a^2+bc\\ab+bd\\ac+dc\\bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$
Matrix-Vektor-Schreibweise:
$$ \begin{pmatrix}1&a&a^2+bc\\0&b&ab+bd\\0&c&ac+dc\\1&d&bc+d^2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$
oder auch in der Form:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}1&a&a^2+bc&0\\0&b&ab+bd&0\\0&c&ac+dc&0\\1&d&bc+d^2&0\end{array}\right) $$
Das brauchst du jetzt nur noch in Zeilenstufenform überführen und schon siehst du, warum hier eine lineare Abhängigkeit zwischen den Matrizen \(E_2,A,A^2\) vorliegt.
