Zeigen Sie, dass die Matrizen A2, A, E2 linear abhängig in Mat(2 × 2; K) sind.

Question

Aufgabe:

Sei \(A\in \text{Mat}(2\times 2; \mathbb{K})\), sei \(A^2:=A\cdot A\) und sei \(E_2\) die \((2\times 2)\)- Einheitsmatrix. Zeige, dass die Matrizen \(A^2,A,E_2\) linear abhängig in \(\text{Mat}(2\times 2; \mathbb{K})\) sind.

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte doch einfach mal \(A\in \text{Mat}(2\times 2; \mathbb{K})\) beliebig mit

$$ A:=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $$

und damit

$$ A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+dc&bc+d^2\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} $$

Betrachte nun damit die Gleichung

$$ \alpha\cdot E_2+\beta\cdot A+\gamma\cdot A^2=\textbf{0}, $$

also

$$ \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\gamma\cdot \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+dc&bc+d^2\end{pmatrix} $$

bzw.

$$ \alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}+\gamma\cdot \begin{pmatrix}a^2+bc\\ab+bd\\ac+dc\\bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$

Matrix-Vektor-Schreibweise:

$$ \begin{pmatrix}1&a&a^2+bc\\0&b&ab+bd\\0&c&ac+dc\\1&d&bc+d^2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$

oder auch in der Form:

$$ \left(\begin{array}{ccc|c}1&a&a^2+bc&0\\0&b&ab+bd&0\\0&c&ac+dc&0\\1&d&bc+d^2&0\end{array}\right) $$

Das brauchst du jetzt nur noch in Zeilenstufenform überführen und schon siehst du, warum hier eine lineare Abhängigkeit zwischen den Matrizen \(E_2,A,A^2\) vorliegt.